03 Aug 2026

Wenn KI die Mathematik neu schreibt: Zehn offene Probleme geloest

Wenn KI die Mathematik neu schreibt: Zehn offene Probleme gelöst

OpenAI hat kürzlich ein Papier veröffentlicht, das für Aufsehen in der mathematischen Welt sorgt: Ein internes Modell namens Astra hat zehn seit Jahrzehnten ungelöste Probleme in der Mathematik und theoretischen Informatik gelöst oder wesentlich vorangetrieben. Was als künstliches Nebenprodukt der Modellentwicklung begann, könnte die Art und Weise, wie wir Forschung betreiben, fundamental verändern.

Das Experiment

Die Idee war simpel: Während der Entwicklung neuer KI-Modelle liess OpenAI die Systeme auf offene Forschungsfragen los. Die Kosten dafür waren erstaunlich niedrig – die Gesamtmenge an Tokens, die nötig waren, um alle zehn Lösungen zu finden, hätte bei Sol-API-Raten etwa 2'000 Dollar gekostet. Das ist weniger, als ein Doktorand an einem einzigen Tag an Arbeitskosten verursacht.

Die zehn Probleme – und warum sie so wichtig sind

Die Liste liest sich wie ein Who-is-Who der ungelösten Rätsel in Mathematik und Informatik. Es handelt sich durchwegs um Probleme, die die jeweiligen Fachcommunities seit Jahrzehnten beschäftigen:

1. Kugelpackungen in höheren Dimensionen Neue obere Grenzen für die Packungsdichte von Kugeln, die bis zur Cohn-Elkies-Schwelle reichen. Die Frage, wie man Kugeln in hochdimensionalen Räumen am dichtesten packen kann, ist seit über einem Jahrhundert offen und hat direkte Anwendungen in der Codierungstheorie und Kristallographie.

2. Binäre und sphärische Codes Exponentiell verbesserte Grenzen für die maximale Grösse binärer Codes bei vorgegebenem Mindestabstand. Dies ist grundlegend für Fehlerkorrekturverfahren, die in allen digitalen Kommunikationssystemen zum Einsatz kommen.

3. Nicht-sofische Gruppen Die Konstruktion einer nicht-sofischen Gruppe – ein zentrales offenes Problem in der Gruppentheorie. Mikhail Gromov stellte die Frage 1999, und seit 27 Jahren konnte niemand beweisen, ob es solche Gruppen überhaupt gibt. Astra hat nicht nur gezeigt, dass sie existieren, sondern eine konkret konstruiert.

4. Connes' Rigidity-Vermutung Ein Widerlegung einer seit 1980 bestehenden Vermutung, die besagte, dass gewisse Gruppen eindeutig durch ihre von-Neumann-Algebren bestimmt sind. Alain Connes, einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts und Fields-Medaillen-Gewinner, formulierte diese Vermutung. Sie war über 45 Jahre lang offen.

5. Arithmetische Schaltkreiskomplexität Neue untere Grenzen für die Berechnung der Permanente mit arithmetischen Schaltkreisen. Die Frage nach der Komplexität der Permanente ist ein klassisches Problem der theoretischen Informatik mit Verbindungen zur Quantencomputing-Theorie.

6. Quanten-Parallel-Repetition Ein exponentielles Parallel-Repetitions-Theorem für allgemeine Zwei-Spieler-Quantenspiele. Dies erweitert ein fundamentales Prinzip aus der klassischen Komplexitätstheorie auf den Quantenbereich.

7. Closest-Vector-Problem Polynomieller Approximations-Faktor für das Closest-Vector-Problem – eine grundlegende Gitterfrage, die direkt mit der post-quanten Kryptographie zusammenhängt. Die Sicherheit vieler moderner Verschlüsselungsverfahren basiert auf der Annahme, dass dieses Problem schwer zu lösen ist.

8. Ehrharts Volumenvermutung Die Bestimmung des maximalen Volumens eines konvexen Körpers, dessen Schwerpunkt sein einziger innerer Gitterpunkt ist. Diese Vermutung aus der diskreten Geometrie war seit den 1960er-Jahren offen.

9. Multicolor-Ramsey-Zahlen Eine superexponentielle untere Grenze für multicolor-Dreieck-Ramsey-Zahlen – dies löst Erdös' Problem 183. Paul Erdös, einer der produktivsten Mathematiker aller Zeiten, stellte Hunderte von Problemen; viele davon sind bis heute offen.

10. Extremale Graphentheorie Ergebnisse zur Kompaktheits- und Degenerationsvermutung in der extremalen Graphentheorie, die Erdös' Probleme 146 und 180 lösen. Diese Fragen zur maximalen Grösse von Graphen mit bestimmten Eigenschaften sind seit Jahrzehnten ungelöst.

Was das bedeutet

Zwei Aspekte machen diese Leistung besonders:

Erstens: Es handelt sich nicht um ein spezialisiertes Mathematik-KI-System, sondern um ein allgemeines Reasoning-Modell. Astra war nicht auf Mathematik trainiert – es wurde einfach auf offene Probleme losgelassen und fand Lösungen. Das unterscheidet sich fundamental von früheren Systemen wie AlphaZero, die für ein einziges Spiel oder eine einzelne Domäne optimiert waren.

Zweitens: Die Kosten. 2'000 Dollar für zehn Beweise, die Generationen von Mathematikern beschäftigt haben. Selbst wenn man die Nachbereitung durch menschliche Experten und die Formalisierung in Lean hinzurechnet, bleibt das ein Bruchteil dessen, was traditionelle Forschung gekostet hätte.

OpenAI hat nicht nur die Beweise veröffentlicht, sondern für jeden eine detaillierte Beschreibung des Denkprozesses des Modells – quasi ein “Gedankengang” in Echtzeit. Ausserdem wurden alle Argumente in Lean, einem formalen Beweissystem, zertifiziert. Das bedeutet: Die Beweise sind maschinell überprüfbar und nicht nur auf Menschenvertrauen angewiesen.

Kritik und Skepsis

Nicht alle Mathematiker sind begeistert. Einige Punkte der Kritik sind berechtigt:

Ursprung der Ideen: Wie viel Mensch war im Schleifen? OpenAI gibt an, die Beweise seien von der KI generiert, von Menschen aufbereitet und dann in Lean formalisiert worden. Kritiker fragen, ob der entscheidende Gedanke nicht doch von menschlichen Forschern stammt.
Connes-Vermutung: Bereits kurz nach Veröffentlichung gab es Gegenstimmen. Eine Analyse behauptet, dass OpenAIs Widerlegung der Connes-Rigidity-Vermutung ungültig sei, weil die konstruierten Gruppen nicht die Voraussetzungen der ursprünglichen Vermutung erfüllten (ICC-Eigenschaft, Property T). Die Diskussion läuft.
Autorschaft: Die Leidener Deklaration zur KI und Mathematik, unterzeichnet von zahlreichen Mathematikern, fordert ehrliche Attribution. Wenn eine KI den Beweis liefert, sollte das auch so kommuniziert werden – nicht als menschliche Leistung ausgegeben.

Ein Wendepunkt?

Unabhängig von der Kritik ist dies ein Meilenstein. Erst im Mai 2026 hatte OpenAI bereits eine KI-generierte Widerlegung der Erdös-Unit-Distance-Vermutung vorgestellt – ein Problem, das seit 1946 offen war. Die jetzigen zehn Ergebnisse gehen noch weiter und decken ein breites Spektrum mathematischer Disziplinen ab.

Die Frage ist nicht mehr, ob KI Mathematik betreiben kann, sondern wie die mathematische Community mit dieser neuen Realität umgeht. Wie attributiert man einen KI-Beweis? Wie prüft man ihn? Und was bedeutet das für die Ausbildung künftiger Mathematiker?

Tim Gowers, Fields-Medaillen-Gewinner und einer der einflussreichsten Mathematiker unserer Zeit, kommentierte die Unit-Distance-Widerlegung als “Meilenstein der KI-Mathematik”. Die zehn neuen Ergebnisse könnten zeigen, dass dies kein Einzelfall war, sondern der Beginn einer neuen Ära.

Murratore's Micro Blog